Qual a diferença entre P.A. e P.G.?
A diferença entre Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG) está na forma como os termos da sequência são obtidos e na razão entre eles.
Progressão Aritmética (PA): Nesta sequência, cada termo, a partir do segundo, é obtido somando uma diferença constante (razão) ao termo anterior. Por exemplo, na PA (1, 4, 7, 10, 13), a razão é 3, pois 4 - 1 = 3, 7 - 4 = 3 e 10 - 7 = 3.
Progressão Geométrica (PG): Nesta sequência, os termos são obtidos multiplicando o último número por uma razão constante. Por exemplo, na PG (1, 3, 9, 27, 81), a razão é 3, pois 3 * 1 = 3, 3 * 3 = 9, 3 * 9 = 27 e 3 * 27 = 81.
Em resumo, as principais diferenças entre PA e PG são:
- A PA apresenta uma diferença constante entre números consecutivos, enquanto a PG apresenta um quociente constante na divisão de dois termos.
- Na PA, os termos são obtidos somando a razão ao antecessor, enquanto na PG, os termos são encontrados ao multiplicar a razão pelo último número.
| Característica | Progressão Aritmética (P.A.) | Progressão Geométrica (P.G.) |
|---|---|---|
| Definição | É uma sequência de valores que apresenta uma diferença constante entre números consecutivos. | É uma sequência de valores em que a razão entre o termo atual e o termo anterior é constante. |
| Fórmula do termo geral | , onde é o primeiro termo e é a razão da P.A. | , onde é o primeiro termo e é a razão da P.G. |
| Fórmula para a soma dos termos finitos | , onde é o número de termos. | , onde é o número de termos. |
| Exemplo | Dada a P.A. (1, 4, 7, 10,..), o 10º termo é . | Dada a P.G. (2, 6, 18, 54,..), o 6º termo é . |
Como calcular o termo n dois tipos de progressão?
No Brasil, existem dois tipos principais de progressão: a progressão aritmética (PA) e a progressão geométrica (PG). Na. progressão aritmética , a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma, chamada de razão da PA.
A fórmula do termo geral é: a n = a 1 + ( n − 1 ) r an=a1+(n-1)r an=a1+(n−1)r Onde:
- ané o n-ésimo termo da sequência;
- a1é o primeiro termo da sequência;
- né a posição do termo na sequência;
- ré a razão da PA (diferença constante entre os termos);
Na. progressão geométrica , a razão entre um termo e o anterior é sempre a mesma, chamada de razão da PG.
A fórmula do termo geral é: a n = a 1 ⋅ q n − 1 an=a1\cdot q^{n-1} an=a1⋅qn−1 Onde:
- ané o n-ésimo termo da sequência;
- a1é o primeiro termo da sequência;
- né a posição do termo na sequência;
- qé a razão da PG (razão constante entre os termos);
Para calcular o termo n de uma progressão, você deve identificar o tipo de progressão (aritmética ou geométrica), o primeiro termo e a razão. Em seguida, aplique a fórmula correspondente para obter o termo n desejado.
Exemplos de situações que podem ser modeladas por uma progressão aritmética?
Algumas situações que podem ser modeladas por uma progressão aritmética incluem:
- Andares de um edifício: Suponha que você esteja construindo um edifício com andares numerados de 1 a N. Se você deseja pintar os andares de forma eficiente, pode ser útil modelar a sequência de andares que precisam ser pintados usando uma progressão aritmética. Por exemplo, se você pintar os andares 1, 4, 7, 10,.. (uma progressão aritmética de razão 3), pode-se prever quais andares precisam ser pintados a partir de qualquer número de andares N;
- Iluminação de uma rua: Suponha que uma prefeitura decida colocar postes de iluminação em uma rua, começando em uma praça central e indo até uma fazenda na zona rural. Se a distância entre cada poste for a mesma, a sequência de postes pode ser modelada por uma progressão aritmética. Por exemplo, se a distância entre os postes for de 50 metros e o primeiro poste estiver na praça, a sequência de postes pode ser modelada pela progressão aritmética 0, 50, 100, 150,..
- Múltiplos de um número: Se você deseja encontrar a quantidade de múltiplos de um número existentes entre dois números inteiros, pode-se usar uma progressão aritmética. Por exemplo, para encontrar a quantidade de múltiplos de 4 existentes entre 100 e 1000, pode-se usar a progressão aritmética 100, 104, 108,.. (com razão de 4) e aplicar a fórmula do termo geral para encontrar o número de termos;
Esses exemplos ilustram como a progressão aritmética pode ser aplicada para modelar e resolver problemas em diferentes situações do mundo real.
Como identificar se uma sequência é uma progressão geométrica?
Uma sequência geométrica é uma sequência numérica em que, a partir do primeiro termo, os termos são calculados pela razão q vezes o seu antecessor.
Para identificar se uma sequência é geométrica, você pode verificar se a razão entre os termos consecutivos é constante. Se a razão entre os termos consecutivos é constante, então a sequência é geométrica.
Por exemplo, considere a sequência (1, 2, 4, 8, 16,..). Nesta sequência, o termo seguinte é o dobro do termo anterior. Portanto, a razão entre os termos consecutivos é 2, que é constante. Logo, essa sequência é geométrica.
A razão de uma sequência geométrica é representada pela letra "q". Para encontrar a razão de uma sequência geométrica, você pode dividir qualquer termo da sequência (exceto o primeiro) pelo seu antecessor.
Se a divisão resultar em um valor constante, então essa divisão é a razão da sequência geométrica.
Por exemplo, na sequência (1, 2, 4, 8, 16,..), se dividirmos o terceiro termo (4) pelo segundo termo (2), obtemos 4/2 = 2. Como a divisão resultou em um valor constante (2), a razão da sequência geométrica é 2.
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